Back

درسنامه درس ریاضیات پیشرفته ۱

۱- فصل اول: مقدمه‌ای بر آنالیز

جلسه‌ی اول: تعریف فضا، بازه، تابع، همبند ساده و همبند چندگانه، کامپکت ساپورت، دامنه

جلسه‌ی دوم: قضیه مقدار متوسط، قضیه اول روله، قضیه دوم روله، قضیه تابع ضمنی، حل مثال

جلسه‌ی سوم: همسایگی، حد، مشتق جزیی، حل مثال

جلسه‌ی چهارم: دیفرانسیل کامل، مشتق ضمنی، ژاکوبین، وابستگی تابعی، حل مثال

جلسه‌ی پنجم: دستگاه منحنی الخط، معادلات آنالیز در دستگاه منحنی الخط، حل مثال

جلسه‌ی ششم: گرادیان، کرل، دیورژانس در مختصات منحنی الخط، حل مثال

جلسه‌ی هفتم: بسط تیلور، بسط پذیری، قاعده لایپ نیتز، حل مثال

 

۲- فصل دوم: قضیه‌های انتگرالی و کاربردها

جلسه‌ی هشتم: قضیه گرین، حل مثال

جلسه‌ی نهم: قضیه گاوس و گرین، حل مثال

جلسه‌ی دهم: قضیه استوکس، حل مثال

جلسه‌ی یازدهم: تساوی اول گرین، تساوی دوم گرین، تساوی اول گاوس، تساوی دوم گاوس، حل مثال

 

۳- فصل سوم: معادلات دیفرانسیل معمولی

جلسه‌ی دوازدهم: معادلات قابل جداسازی، معادله مرتبه اول همگن، معادله مرتبه اول برنولی، حل مثال

جلسه‌ی سیزدهم: معادله‌ دیفرانسیل کامل، معادله قابل کاهش مرتبه، حل مثال

جلسه‌ی چهاردهم: معادلات خطی مرتبه n، پاسخ خصوصی و پاسخ همگن، وابستگی خطی، رانسکین، حل مثال

جلسه‌ی پانزدهم: روش تغییر پارامترها، روش ضرایب نامعین، حل مثال

جلسه‌ی شانزدهم:‌ حل معادلات دیفرانسیل به کمک سری‌های توانی – روش فروبنیوس، حل مثال

جلسه‌ی هفدهم: معادله لژاندر، بسل، گاوس، هرمیت، هایپرژئومتری، حل مثال

جلسه‌ی هجدهم: معادلات با مقدار مرزی – شرط وجود پاسخ، حل مثال

جلسه‌ی نوزدهم: مساله اشتورم – لیوویل، عادی، تکین، دوره‌ای، حل مثال

جلسه‌ی بیستم: تابع دلتای دیراک، شکل پیوسته، شکل ناپیوسته، تابع پنجره، حل مثال

جلسه‌ی بیستم ویکم: اوپراتور پیوندی، خودپیوندی، روش گرین برای حل مسائل مقدار مرزی، حل مثال

 

۴- فصل چهارم: حساب تغییرات

جلسه‌ی بیست و دوم: مبانی تعیین نقاط بحرانی توابع به کمک روش مشتق، ماتریس هسین، روش پنالتی، روش ضرایب نامعین لاگرانژ تابعک، یک متغیره با مشتق مرتبه اول تابع، تغییرات گیری، حل مثال

جلسه‌ی بیست و سوم: معادله‌ی اویلر-لاگرانژ، تابعک با یک متغیر وابسته و یک متغیر مستقل، حل مثال

جلسه‌ی بیست و چهارم: تابعک با یک متغیر وابسته و چند متغیر مستقل،تابعک با چند متغیر مستقل و وابسته، حل مثال

جلسه‌ی بیست و پنجم: تابعک با چند متغیر مستقل و وابسته و مشتقات جزیی تا مرتبه n ، حل مثال

جلسه‌ی بیست و ششم: مساله‌های با مرز متحرک، شرط ترانسورسالیتی، شرط مرزی طبیعی، حل مثال

جلسه‌ی بیست و هفتم: مساله‌های مقید، مساله‌ ایزوپریمتریک، مساله با شرط کمکی متناهی، حل مثال

-------------------------------------------

مراجع و منابع

Advanced calculus for applications, Hildebrand, Second Edition, Prentice Hall.

Advanced mathematics, Jeffrey, John Wiley and Sons.

Advanced calculus, Taylor & Mann, John Wiley and Sons.

Calculus of variations, Gelfand & Fomin, Dover Book on Mathematics.